\section{O hélio e o modelo Vetorial Blume-Emery-Griffiths \label{sec:he}}
  
O Hélio é o segundo elemento mais abundante no universo depois do hidrogênio, sendo raro na Terra porque seus átomos são tão leves que a velocidade térmica na alta atmosfera é superior à velocidade de escape e uma grande proporção deles foge da atmosfera. Na natureza, há dois isótopos distintos do hélio, o \het e o \heq. O mais abundante  \heq, possui um núcleo formado por dois prótons e dois nêutrons, e o menos  abundante \het possui um núcleo com dois prótons e apenas um nêutron. 

Quando se resfria o \heq a temperaturas abaixo de 2.172 K, este sofre uma transição para uma fase superfluida. O termo superfluido foi cunhado por Pyotr Kapitza em 1938, devido ao comportamento hidrodinâmico singular do \heq a baixas temperaturas. A superfluidez do \heq foi explicada posteriormente pelo físico teórico Lev Landau como uma manifestação de um processo conhecido como condensação de Bose-Einstein. O ponto de transição de fase do hélio de liquido normal para superfluido ficou conhecido como ponto $\lambda$, isto devido ao formato da curva do calor específico como função da temperatura, que na transição lembra a letra grega. 

No caso do isótopo \het, a superfluidez só foi comprovada no início da década de 70 com uma temperatura de transição do líquido normal para superfluido muito mais baixa do que a do \heq ($\sim$ 2,7 mK). A descoberta valeu o Prêmio Nobel a Douglas Osheroff, David Lee e Robert Richardson. Apesar de isótopos, os efeitos quânticos se manifestam de forma diversa nos líquidos \het e \heq, uma vez que os átomos de \het são Férmions, enquanto \heq  são bósons. Por isso a superfluidez do líquido \het só pôde ser explicada pelo trabalho de Anthony Leggett em 1972 \cite{PhysRevLett.29.1227}.

Uma vez que a temperatura de transição do $^3$He é cerca de mil vez menor que a do $^4$He, em sistema de misturas de $^3$He-$^4$He, átomos de $^3$He comportam-se como impurezas, que reduzem a temperatura da transição superfluida e induzem a separação de fases no sistema.  No diagrama de transição de fase a linha de transição $lambda$ de segunda ordem termina em uma linha de coexist\^encia de fases, ou de primeira ordem, que separa uma fase pobre em \het para uma fase rica em \het. Este comportamento, apresentado na Figura \ref{fig:he34}, foi obtido experimentalmente \cite{Graf1967}.  
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\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\includegraphics[width = 8cm]{figuras/ilustracao/hetqexp.jpg}
\end{center}
\caption{Diagrama de transição de fase de misturas de \hetq obtidas experimentalmente \cite{Graf1967}.}
\label{fig:he34}
\end{figure}

Em 1971, Blume, Emery e Griffiths \cite{blume1971ising}  propuseram um modelo de spins discretos capaz de reproduzir a topologia básica do diagrama de fases de misturas de \he34. Nesse modelo, conhecido como modelo de BEG, cada sitio $i$ da rede possui uma variável de spin $S$ que pode tomar valores $-1$, $0$, $+1$. Como o $^3$He é um férmion ele será representado pela variável de spin $S=0$. Dessa forma, o $^3$He se comporta como uma impureza, reduzindo o valor da temperatura crítica do sistema. 
%por isso o módulo $S_i^2$ pode assumir dois valores: $0$ ou $1$, %representando a ocupação do sítio por um átomo de $^3$He ou de $^4$He %respectivamente. 

O parâmetro de ordem deste modelo é a média das variáveis de  spin $\langle S \rangle$. Este é um parâmetro de ordem semelhante ao do modelo de Ising. Como $S^2$ pode ser zero ou um, $\langle S^2 \rangle$  é interpretado como a densidade de átomos de \heq  e  $1- \langle S^2 \rangle$ com a densidade de atomos de \het. O Hamiltoniano do modelo BEG é dado pela equação 
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\begin{equation}
\label{eq:hamiltoniano1} 
H = -J\sum\limits_{\left\langle {ij} \right\rangle } {{{S}}_i {{S}}_j }  - K\sum\limits_{\left\langle {ij} \right\rangle } {{{S}}_i^2 {{S}}_j^2 }  + \Delta \sum\limits_i {{{S}}_i^2 } ,
\end{equation}
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onde $J$ \'e a intera\c c\~ao de exchange bilinear, $K$ \'e a intera\c c\~ao biquadr\'atica, $\Delta$ o termo de anisotropia cristalina e $S_i=-1,0,+1$. 
Embora o modelo de BEG acima, resolvido pela aproximação de campo médio, tenha reproduzido qualitativamente o diagrama de fases experimental para uma faixa de valores dos parâmetros do hamiltoniano, ele apresenta certas características não físicas, como não considerar a simetria rotacional do parâmetro de ordem do hélio superfluido (a função de onda associada a superfluidez). Por isso Berker e Nelson \cite{Berker1979} e, independentemente, Cardy e Scalapino \cite{Cardy1979}, propuseram um modelo baseado no rotor planar para descrever o comportamento de filmes de misturas de \he34, conhecido como o modelo vetorial de Blume-Emery-Griffiths. Um modelo mais geral, pode ser dado por
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\begin{equation}
\label{eq:hamiltoniano1} 
H = -J\sum\limits_{\left\langle {ij} \right\rangle } ({{{S}}^x_i {{S}}^x_j } +  {{{S}}^y_i {{S}}^y_j }) - K\sum\limits_{\left\langle {ij} \right\rangle } {{\bf{S}}_i^2 {\bf{S}}_j^2}  + \Delta\sum\limits_i{\bf{S}}_i^2 ,  %erro no negrito da equação 
\end{equation}
%
onde ${\bf{S}}_i$ s\~ao vetores cl\'assicos de módulo unitário e podem assumir os valores
$0$, se houver um \'atomo de \het ou $1$, se houver um \'atomo de \heq .
O diagrama de fases do modelo VBEG foi investigado em duas dimensões usando grupo de renormalização de Migdal-Kadanoff e não se encontrou um ponto tricrítico para nenhum valor dos parâmetros do modelo.

O Modelo XY-VBEG acima difere do VBEG por apresentar spins tridimensionais que podem flutuar também fora do plano XY. Apesar de o Hamiltoniano ter a mesma forma do VBEG, o espaço de fase associado a ambos difere, e dessa forma é esperado diferenças em suas propriedades termodinâmicas. Ambos não visam uma modelagem quantitativa fiel do diagrama de fase experimental do $^3$He-$^4$He. Em vez disso, busca-se capturar as características físicas e topológicas essenciais do problema, ou seja, a separação de fases em conjunto com a formação de uma fase superfluida. Entre outras coisas, isto significa que o modelo descrito acima não captura, por exemplo, a miscibilidade finita de $^3$He em $^4$He de cerca de $6\%$ a temperaturas muito baixas, onde o $^3$He em solução se comporta como um líquido de Fermi e, portanto, exigiria um tratamento totalmente quântico \cite{baym1991landau}. Este último aspecto, no entanto, não tem implicações físicas importantes para o comportamento do sistema próximo ao ponto de transi\c c\~ao, que é o foco principal do presente trabalho. 

